Paramétrisation du problème 3x+1 sur la droite réelle : diagramme de phase, renormalisation et intervalles errants

Le probleme 3x + 1, defini sur les entiers positifs, concerne les iterations de la fonction T(x) = (3x + 1)/2 si x est impair et T(x) = x/2 sinon. Un prolongement analytique sur les reels a ete etudie par Marc Chamberland, puis par les auteurs. Nous generalisons cette etude a une classe de fonctions reelles dependant de quatre parametres, de maniere a englober de nombreuses variantes du probleme 3x + 1. A l'aide d'une approche heuristique, nous obtenons un diagramme de phase en deux dimensions permettant de caracteriser la dynamique asymptotique moyenne, i.e., pour presque tout reel au voisinage de ±∞. Dans une large partie de l'espace des parametres, nous etablissons le taux moyen de croissance des trajectoires reelles proches de l'infini, sous une condition de distribution uniforme modulo 2. Puis nous decrivons la dynamique intrinseque et extrinseque au voisinage des entiers au moyen d'une methode de renormalisation. Cela nous conduit a distinguer quatre types d'intervalles errants.