偏微分方程特征值计算的上下界分析与高精度格式构造

本文指出协调有限元给出偏微分方程(PDE)特征值上界的本质等价于不等式(uh,uh)≤(u,uh)≤(u,u),由此推导出同精度的下界格式;进而当a(u-uh,uh)=O(λ‖u-uh‖2L2)时,构造同样精度的高阶格式,如 λH:2α(uh,uh)/(u,u)+(uh,uh).本文分别以矩形、三角形和六面体均匀网格上的线性元和多线性元为例,分析相应高阶格式成立的两个关键条件:能量内积投影空隙a(u-uh,uh)=O(‖u-uh‖2L2)和特征函数真解的L2范数(u,u)在离散网格中l2的保范逼近.所附数值例子中的计算与文中证明的理论相吻合,对某些区域上的二维、三维Laplace问题列出若干高阶格式(六阶、八阶、十阶)的前几十个特征值计算结果,表明所提出的高精度格式对于奇异特征函数及高频特征值的计算也有效.