从压缩传感到低秩矩阵恢复:理论与应用

综述了压缩传感、矩阵秩最小化和低秩矩阵恢复等方面的基础理论及典型应用.基于凸优化的压缩传感及由其衍生的矩阵秩最小化和低秩矩阵恢复是近年来的研究热点,在信号处理、推荐系统、高维数据分析、图像处理、计算机视觉等很多研究领域具有重要和成功的应用.在这些实际的应用中,往往涉及到对高维数据的分析与处理,需要充分和合理利用数据中的如稀疏性或其所构成矩阵的低秩性等性质.尽管在最坏情况下,最小化诸如稀疏性或矩阵秩这样的目标函数是NP难的,但是在某些合理的假设条件下,通过优化目标函数的凸松弛替代函数,采用凸优化的方法,能够精确地给出原问题的最优解.有很多高效的凸优化算法对之进行求解且适用于大规模问题.本文首先分别综述了压缩传感、矩阵秩最小化和低秩矩阵恢复的相关基础理论,然后对其在图像处理、计算机视觉和计算摄像学等领域的典型应用予以举例介绍,并展望了相关领域未来的研究工作.