On the chromatic symmetric function of a tree

Stanley defined the chromatic symmetric function X(G) of a graph G as a sum of monomial symmetric functions corresponding to proper colorings of G, and asked whether a tree is determined up to isomorphism by its chromatic symmetric function. We approach Stanley's question by asking what invariants of a tree T can be recovered from its chromatic symmetric function X(T). We prove that the degree sequence (�1,...), wherej is the number of vertices of T of degree j, and the path sequence (�1,...), wherek is the number of k-edge paths in T, are given by explicit linear combinations of the coefficients of X(T). These results are consistent with an affirmative answer to Stanley's question. We briefly present some applications of these results to classifying certain special classes of trees by their chromatic symmetric functions. Resume. Stanley a defini la fonction symetrique chromatique X(G) d'un graphe G par une somme de fonctions symetriques monomials qui correspondent aux colorations propres de G, et il a demande si un arbre est determine jusqu'`a l'isomorphisme par sa fonction symetrique chromatique. Nous approchons la question de Stanley en demandant quels invariants d'un arbre T peutetre recupere de sa fonction symetrique chromatique X(T). Nous prouvons que le suite des degres (�1,...), ouj est le nombre des sommets de T de degre j, et le suite des chemins (�1,...), ouk est le nombre de chemins de longueur k, sont donnees par des combinaisons lineaires explicites des coefficientsX(T). Ces resultats sont conformesa une reponse affirmativea la question de Stanley. Nous presentons brievement quelques applications de ces resultatsa classifier certaines classes speciales des arbres par ses fonctions symetriques chromatiques.